UNIDAD 2

 Métodos de solución de ecuaciones

MÉTODO DE CRAMER

Es un método que utiliza determinantes para dar solución al sistema de ecuaciones lineales compatibles, la cual se basa en la regla de Cramer la cual se puede expresar como sigue:  

Ejemplo 1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Cramer

Solución:

Encontramos la determinante de coeficiente

Encontramos la determinante det A1 la cual se forma reemplazando la columna de coeficiente de x en det A con la columna de constantes

Encontramos la determinante det A2 la cual se forma reemplazando la columna de coeficiente de y en det A con la columna de constantes

Por lo tanto, la solución es

MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tres incógnitas.

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Este método suele emplearse mayormente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, está diseñado para sistemas con dos ecuaciones y dos incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Ejemplo 1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por reducción

Solución:

Elegimos eliminar la incógnita E y como los coeficientes de E en ambas ecuaciones son positivos, elegimos ser el coeficiente de 3 en -3 para multiplicarlo por la ecuación (1), mientras el coeficiente 5 de la incógnita E de la ecuación (1) permanece igual para multiplicarlo por la ecuación (2), es decir, 

Ahora sustituimos el valor de C en la ecuación (2) para encontrar el valor de E

MÉTODO DE GRÁFICO

Consiste en graficar las ecuaciones para obtener las soluciones o solución, el cual es el punto de intersección de las ecuaciones.  

Puede haber tres tipos distintos de conjuntos solución para los sistemas de ecuaciones 2 x 2. En la figura 1 las dos líneas rectas se interceptan. Las coordenadas del punto de intersección (x1, y1), representa la solución para el sistema de ecuaciones, es decir, el par de valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones. Cuando hay solo un par de valores para las variables que satisface el sistema de ecuaciones, se dice que el sistema tiene solución única.

En la figura 2 las dos líneas rectas son paralelas entre sí.  Las líneas rectas no tienen intersección, no hay par de valores x y y que satisfacen el sistema de ecuaciones. Cuando no hay par de valores para las variables que satisface el sistema, se dice que el sistema no tiene solución.

En la figura 3 ambas ecuaciones   se trazan como la misma línea recta y se considera que soy ecuaciones equivalentes. Un número infinito de valores es común a las dos líneas rectas y se dice que el sistema tiene una infinidad de soluciones.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Ejemplo 1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por igualación

Solución:

Despejamos E de la ecuación (1)

Despejamos E de la ecuación (2)

Igualamos los resultados de E despejados de la ecuación (1) y (2)

Ahora sustituimos el valor de C en la ecuación (2) para encontrar el valor de E

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.

Ejemplo 1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por sustitución

Solución:

Despejamos E de la ecuación (1)

Sustituimos el valor de E en la ecuación (2) para encontrar el valor de C