UNIDAD 3

 ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial ( o lineal ) es un conjunto no vacío V , cuyos elementos se denominan vectores, en el que hay definidas dos operaciones, suma y multiplicación por escalares ´ ( números reales o complejos ´ ) que satisfacen los siguientes axiomas. Para vectores arbitrarios u, v, w y escalares c y d: 

1. la suma es una operación interna: ´ u + v ∈ V , 

2. la suma es conmutativa: u + v = v + u,

 3. la suma es asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) = u + v + w,

 4. elemento neutro de la suma: ∃0 ∈ V | v + 0 = v, ∀v ∈ V , 

5. elemento inverso en la suma: ∀v ∈ V , ∃v 0 ∈ V | v + v 0 = 0, se escribe v 0 = (−v),

 6. la multiplicación por un escalar produce un vector: ´ cv ∈ V , 

7. distributividad I: c (u + v) = cu + cv, 

8. distributividad II: (c + d)v = cv + d v, 

9. asociatividad: c(dv) = (cd)v = cd v, 

10. 1 · v = v.

 El vector 0 es unico y, dado ´ v, tambien lo es ´ −v. Además 0 ´ v = 0, c0 = 0 y −v = (−1)v.

• Los vectores libres, flechas ( segmentos rectos dirigidos ) que se consideran iguales si tienen la misma dirección y longitud, son ´ un espacio vectorial definiendo la suma por la regla del paralelogramo, y el producto por un escalar cv como un escalamiento de v ( contando con el signo ) .

• R n , el conjunto de vectores columna de números reales

es un espacio vectorial, siendo el conjunto de escalares R. Los espacios de vectores fila tambien son espacios vectoriales. 

 • C n , el conjunto de vectores columna de números complejos

es un espacio vectorial, siendo el conjunto de escalares C. En general F n denota R n o´ C n ( F es R o´ C )

 • El conjunto de “vectores infinitos” (x1 , x2 ,..., xn,...), con la suma y el producto por escalares habitual, es un espacio vectorial. Senales causales y no causales. ˜

 • El conjunto de polinomios de variable t, que se denota por R[t], es un espacio vectorial con las operaciones del ejemplo anterior. El conjunto de polinomios de grado menor o igual a un grado dado n es un espacio vectorial. 

• El conjunto C(R), de funciones continuas en la recta real, definiendo la suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) y el producto por un numero real ( ´ cf )(x) = c f (x), es un espacio vectorial.

 • El espacio de matrices de m×n, denotado Mm×n(F), es un espacio vectorial.

SUBESPACIO VECTORIAL

Un subconjunto H ⊂ V de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial si el mismo es un espacio vectorial, utilizando las operaciones ´ (+,·) heredadas de V .

Se suele decir simplemente subespacio, en lugar de subespacio vectorial. 

El criterio practico para demostrar si un subconjunto determinado ´ H es un subespacio vectorial es comprobar que es algebraicamente cerrado. Esto consiste en comprobar las siguientes propiedades.

 (Criterio de subespacio vectorial). H es un subespacio lineal si se cumple que:

1. la suma es cerrada, es decir, la suma de dos vectores del espacio, esta dentro del ´ espacio: ∀v,w ∈ H ⇒ v + w ∈ H .

 2. el producto por cualquier escalar de cualquier vector de V esta en ´ H : ∀c ∈ R y ∀v ∈ H ⇒ cv ∈ H . 

Es decir, todas las combinaciones lineales de elementos de H están dentro de ´ H . 

Un criterio rápido para descartar que un conjunto es un (sub)espacio vectorial ´ es observar, si se da el caso, que el vector 0 no pertenece al conjunto. Por supuesto, hay conjuntos que contienen a 0 que no son espacios vectoriales. 

 PROPIEDADES QUE PERMITEN PROBAR SI UN SUBCONJUNTO DE UN VECTORIAL ES UN SUBESPACIO

Sea $E$ un espacio vectorial, $F$ un subconjunto de $E$. $F$ es un subespacio vectorial si y sólo si :

1. $0_E$ es un elemento de $F$,
2. $\forall (u,v)\in F^2,\forall (\alpha ,\beta )\in K^2,(\alpha \bullet u)\oplus (\beta \bullet v)\in F$.

Sea $E$ un $E$-espacio vectorial y $F$ un subconjunto de $E$. $F$ es un subespacio vectorial si y sólo si :

1. $0_E$ es un elemento de $F$,
2. $\forall (u,v)\in F^2,\forall \lambda \in K,u\oplus (\lambda \bullet v)\in F$