UNIDAD 1

mayo 19, 2021

UNIDAD 1

Introducción a la temática

En esta unidad asignada para el curso de la materia se hablará sobre el álgebra, sus matrices, tipos de operaciones, características y soluciones.

El álgebra es una rama de las matemáticas que generaliza los procedimientos, cálculos matemáticos para resolver problemas, se caracteriza por el empleo de letras para representar números, con ellas y con los símbolos que se han utilizado para indicar operaciones y agrupamientos, se ha elaborado un código especial, este siendo el lenguaje algebraico.

El álgebra es de gran utilidad en nuestra vida, ya que nos simplifica muchos trabajos y cuentas que usamos en todas las cosas. Como ejemplo; si compramos 5 lápices y 6 borradores, en nuestra mente se representa con 5a + 6b, y si nos da los valores/precios de a y b, nos facilita más para sacar el total de los precios. Otro ejemplo seria hacer inventarios. Cuando hago un inventario, podemos representar los artículos con una letra y número para su cantidad, ósea 10x puede significar 10 piezas de "x" cosa.

Tipos de matrices, características y componentes

Antes de leer los tipos de matrices debemos tener en cuenta que una matriz es un arreglo bidimensional conformada por filas representadas por una "m" y por unas columnas representadas por una "n", de la siguiente manera:

Matriz Fila

Esta como lo dice su nombre está representada por una fila, la cual se expresa así:

A= (3 –1 4)

Matriz Columna

Al igual que la fila, esta se representa por ser una columna, así:

Matriz Cuadrada y Rectangular

Cuando el número de filas es igual al de columnas se le llama cuadrada, de lo contrario será rectangular, así:

La matriz A es rectangular, mientras que la B es cuadrada

Matriz Traspuesta

Dada una matriz A, su traspuesta (At) es la que se obtiene al cambiar sus filas por las columnas en el mismo orden, por ejemplo:

Matriz Nula

Es cuando todos los elementos de dicha matriz son 0, por ejemplo:

Matriz Simétrica

Una matriz cuadrada es simétrica si se cumple que Aij = Aji. Además, se cumple la matriz es igual a su tras puesta, por ejemplo:

Matriz Diagonal

Es una matriz cuadrada si los elementos que no están en la diagonal principal son nulos. Por ejemplo:

Matriz Escalar

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales, es decir:

Matriz Identidad

Es una matriz diagonal en la que todos los elementos no nulos son 1. Por ejemplo:

Matriz Triangular

Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o debajo de la diagonal principal son 0, es decir:

Matriz Regular

Es una matriz cuadrada que tiene inversa

Matriz Singular

Es aquella que no tiene inversa

Matriz Idempotente

Si se cumple : A2= A

Matriz Involutiva

Si se cumple: A2= I

Matriz Ortogonal

Si se cumple: At. A= I

Operaciones elementales

Las operaciones elementales son aquellas transformaciones que como resultado tienen guardada la equivalencia de matrices, o sea, las operaciones elementales no afectan las múltiples soluciones del sistemas de ecuaciones algebraicas lineales representado por esta matriz.

Las operaciones básicas son la suma, la resta, la multiplicación, división y el intercambio de filas.

Las operaciones elementales se utilizan también en el método de Gauss para darle a una matriz el aspecto triangular o escalonado.

A continuación un ejemplo donde aplico el método de Gauss pero enfocado en las operaciones elementales:

A =	4	2	0
	1	3	2
	-1	3	10

Solución:

Cambiemos de lugar la primera y la segunda fila

4	2	0	~	1	3	2	~
1	3	2		4	2	0
-1	3	10		-1	3	10

a la segunda fila sumemos la primera multiplicada por -4; a la tercera fila sumemos la primera

~	1	3	2	~	1	3	2	~
	4 + (-4)·1	2 + (-4)·3	0 + (-4)·2		0	-10	-8
	-1 + 1	3 + 3	10 + 2		0	6	12

dividamos la segunda fila por -2, la tercera fila la dividamos por 6

~	1	3	2	~	1	3	2	~
	0	-10/(-2)	-8/(-2)		0	5	4
	0	6/6	12/6		0	1	2

cambiemos de lugar la segunda y la tercera fila

~	1	3	2	~
	0	1	2
	0	5	4

sumemos la tercera fila a la segunda multiplicada por -5

~	1	3	2	~	1	3	2
	0	1	2		0	1	2
	0	5 + (-5)·1	4 + (-5)·2		0	0	-6

Determinante

La función determinantes es de gran importancia en el álgebra ya que, por ejemplo, nos permite saber si un matriz es regular (si tiene inversa), y por tanto, si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución. Además, en el caso de que el sistema ecuaciones tenga una única solución, podemos calcularla aplicando determinantes (regla de Cramer). Otras aplicaciones: el cálculo del producto vectorial de dos vectores y determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente.

Hay que tener presente dos cosas muy importantes:

- Una matriz tiene inversa si su determinantes es distinto de 0.

- Las filas de una matriz o sus columnas son linealmente independientes si, y solos si, su determinante es 0.

La función determinante se define para matrices cuadradas.

Reglas para cada dimensión

DIMENSIÓN 1*1

Si la dimensión es 1, solo tiene un elemento y su determinante es dicho elemento:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 3\end{vmatrix}$

DIMENSIÓN 2*2

Calculamos el determinante restando el producto de los elementos de las diagonales:

DIMENSIÓN 3*3

Regla de Sarrus: los elementos de las diagonales con flecha hacia abajo (azul) se multiplica y se suma; lo mismo con las diagonales (rojo) se multiplican y se suman, el resultado de ambas se resta y ahí sale la determinante.

Regla de Laplace: se desarrolla por la fila i de la matriz A de dimensión n:

Siendo $A_{i j}$ la matriz de dimensión $n - 1$ resultante al eliminar la fila $i$ y la columna $j$ de $A$ .

Por tanto, si la matriz es dimensión $n$ , tendremos que calcular $n$ determinantes de matrices de dimensión $n - 1$ . Esta es la razón por la que solo usamos esta regla cuando no hay otra opción (dimensión mayor que 3).

Para ver la fórmula de forma más intuitiva, observad el desarrollo por la fila $1$ de una matriz de dimensión 3:

EJEMPLO DETERMINANTE DE UNA MATRIZ POR REGLA DE LAPLACE:

Inversa

Antes de todo tener presente:

Las matrices que no son cuadradas no tienen inversa.
Las matrices cuadradas cuyo determinante es 0 no tienen inversa.
Sólo las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de 0 tienen inversa.

Inversa por el método de Gauss:

Escribir la matriz y adjuntar a su derecha la matriz identidad de la misma dimensión.
Realizar las transformaciones de Gauss de forma sucesiva hasta conseguir que la matriz identidad quede a la izquierda. Caso de que no pueda conseguirse (toda una fila quede de ceros, por ejemplo), es porque la matriz no tiene inversa.
La matriz resultante a la derecha será la inversa de la matriz dada.

Inversa por Determinantes:

Calcular el determinante de la matriz. (Si el determinante fuese 0, no existe la matriz inversa).
Calcular la matriz adjunta.
Calcular la matriz traspuesta de la obtenida en el paso anterior. (Este paso y el anterior son intercambiables).
La matriz inversa se obtiene dividiendo cada elemento de la matriz del paso anterior entre el determinante de la matriz dada (Calculado en el primer paso).